Геометрия Евклида

В качестве постулатов Евклид выбрал такие предложения, в которых утверждалось то, что можно проверить простейшими построениями с помощью циркуля и линейки. Евклид принял также некоторые общие предложения-аксиомы. На основе таких постулатов и аксиом Евклид строго и систематично развил всю планиметрию.

Учение о параллельных и знаменитый пятый постулат («Если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние и по одну сторону углы меньшие двух прямых, то продолженные неограниченно эти две прямые встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых») определяют свойства Евклидова пространства и его геометрию, отличную от неевклидовых геометрий.

За определениями следуют пять постулатов: "Допустим:

1) что от всякой точки до всякой точки можно провести прямую линию;

2) и что ограниченную прямую можно непрерывно продолжить по прямой;

3) и что из всякого центра и всяким раствором может быть описан круг;

4) и что все прямые углы равны между собой;

5) и если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние и по одну сторону углы, меньше двух прямых, то продолженные неограниченно эти две прямые встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых."

Три первых постулата обеспечивают существование прямой и окружности. Пятый, так называемый постулат о параллельных - самый знаменитый. Он всегда интриговал математиков, которые пытались вывести его из четырех предыдущих или вообще отбросить, до тех пор, когда в XIX в. обнаружилось, что можно построить другие, неевклидовы геометрии и что пятый постулат имеет право на существование.

Иногда IV и V постулаты относят к числу аксиом. Поэтому пятый постулат иногда называют XI аксиомой. По какому принципу одни утверждения относятся к постулатам, а другие к аксиомам, неизвестно.

Никто не сомневался в истинности постулатов Евклида, что касается и V постулата. Между тем уже с древности именно постулат о параллельных привлек к себе особое внимание ряда геометров, считавших неестественным помещение его среди постулатов. Вероятно, это было связано с относительно меньшей очевидностью и наглядностью V постулата: в неявном виде он предполагает достижимость любых, как угодно далеких частей плоскости, выражая свойство, которое обнаруживается только при бесконечном продолжении прямых.

Возможно, что уже сам Евклид пытался доказать постулат о параллельных. В пользу этого говорит то обстоятельство, что первые 28 предложений «Начал» не опираются на V постулат. Евклид как бы старался отодвинуть применение этого постулата до тех пор, пока использование его не станет настоятельно необходимым.

Затем Евклид сформулировал аксиомы, которые в противоположность постулатам, справедливым только для геометрии, применимы вообще ко всем наукам.

Аксиомы

I. Равные порознь третьему равны между собой.

II. И если к ним прибавим равные, то получим равные.

III. И если от равных отнимем равные, то получим равные.

IV. И если к неравным прибавим равные, то получим неравные.

V. И если удвоим равные, то получим равные.

VI. И половины равных равны между собой.

VII. И совмещающиеся равны.

VIII. И целое больше части.

IX. И две прямые не могут заключать пространства.

Книги I—IV охватывали геометрию, их содержание восходило к трудам пифагорейской школы. В книге V разрабатывалось учение о пропорциях, которое примыкало к Евдоксу Книдскому. В книгах VII—IX содержалось учение о числах, представляющее разработки пифагорейских первоисточников. В книгах X—XII содержатся определения площадей в плоскости и пространстве (стереометрия), теория иррациональности (особенно в X книге); в XIII книге помещены исследования правильных тел, восходящие к Теэтету.

«Начала» Евклида представляют собой изложение той геометрии, которая известна и поныне под названием Евклидовой геометрии.

Обычно о «Началах» говорят, что после Библии это самый популярный написанный памятник древности. Книга имеет свою, весьма примечательную историю. До двадцатого века книга считалась основным учебником по геометрии не только для школ, но и для университетов.

Новости образования:

Методики логопедических занятий с заикающимися детьми дошкольного возраста
В настоящее время существует ряд логопедических методик по устранению заикания. Их можно рассматривать в зависимости от возраста заикающихся: работа с дошкольниками, школьниками, подростками и взрослыми. В специализированных стационарах заикающиеся дети находятся 3—4 месяца. Примерно месяц составля ...

Мышление: его закономерности и условия развития
Ребенок пришел в школу учиться – приобретать знания. Конечно, он выучит необходимые правила и законы, сумеет пересказать то, о чем узнает. Но ребенок должен научиться также, применять свои знания в новых, неожиданных ситуациях, находить свои, нестандартные ответы на возникающие вопросы, обнаруживат ...

Состояние связной речи младших школьников с общим недоразвитием речи и задержкой психического развития
Целью данной экспериментальной работы является: - определение уровня сформированности связной речи у младших школьников с общим недоразвитием речи и задержкой психического развития и у учащихся с нормальным психофизическим развитием; - сопоставление уровней владения связной речью младшими школьника ...