А.М.Лежандра

По теореме 1, сумма углов каждого из треугольников ABC1 и AC1C не больше 180°; если хотя бы у одного из них сумма углов была бы меньше 180°, то и сумма углов прямоугольного треугольника ABC (получающаяся, если из суммы всех углов треугольников ABC1 и ACC1 вычесть 180°) была бы меньше 180°, что противоречит сделанному предположению. Поэтому сумма углов треугольника ABC1 также равна 180°. Отсюда, в точности так же как выше, заключаем, что в каждом из треугольников A1BC1 и A1AC1 сумма углов равна 180°.

Теперь уже нетрудно доказать теорему 2. Пусть сумма углов некоторого треугольника ABC равна 180°. Опустив на его большую сторону высоту BD, разобьем его на два прямоугольных треугольника ABD и CBD (см. рис. а).

Сумма углов каждого из треугольников ABD, CBD также равна 180° (т. к. если бы сумма острых углов хотя бы одного из треугольников ABD и CBD была меньше 90°, то сумма углов треугольника ABC также была бы меньше 180°). По доказанному выше, отсюда следует, что сумма острых углов любого прямоугольного треугольника равна 90°. Но каждый треугольник A1B1C1 можно разбить на два прямоугольных треугольника высотой, опущенной на большую сторону (см. рис.б). Так как сумма острых углов каждого из этих треугольников (A1B1D1 и B1C1D1 на рис. б) равна 90°, то сумма углов треугольника A1B1C1 равна 180°, что и завершает доказательство теоремы.

Теорема 3. Если сумма углов любого треугольника равна 180°, то справедлив V постулат.

Пусть A - точка, лежащая вне прямой DD' (см. рис.) . Опустим из точки A перпендикуляр AC на прямую DD' и проведем через точку A прямую BB', перпендикулярную к AC. Ясно, что прямые BB' и DD' не пересекаются (иначе образовался бы треугольник с суммой углов, большей 180°).

Надо доказать, что любая другая прямая MN, проходящая через точку А, пересекается с прямой DD'. Из двух лучей АM, АN выберем тот, который с отрезком АС составляет острый угол; пусть это будет луч АN и пусть (рис. в низу на с.22) точка В и N лежат по одну сторону от прямой АС (в противном случае можно было бы поменять обозначения точек В и В’. Угол ВАN обозначим через а.

рис.1 рис.2

Отложим на луче СD отрезок СР1=СА (рис. 2). Тогда в равнобедренном прямоугольном треугольнике АСР1 каждый из углов ∟А, ∟Р1=450=1/2*900 (ведь, по предположению, сумма углов треугольника равна 1800). Отложим теперь на прямой СD отрезок Р1Р2= Р1А. тогда в равнобедренном треугольнике АР1Р2каждый из углов ∟Р1АР2, ∟Р2, как легко подсчитать, равен 1/2*450=1/4*900. Затем построим точку Р3 прямой СD (так, чтобы АР2= Р2Р3) и т.д. В результате получим лучи АР1,АР2, АР3…, каждый из которых пересекает прямую СD. При этом ∟ВАР1=1/2*900, ∟ВАР2=1/4*900, ∟ВАР3=1/8*900, …Ясно, что после конечного числа шагов получим такой луч АРn (пересекающий прямую DD’), для которого ∟ВАРn=1/2n*900<а. этим и завершается доказательство теоремы.

Как известно из V постулата (или аксиомы параллельности) вытекает, что сумма углов любого треугольника равна 1800.

Таким образом, теорема 3 показывает, что утверждение «сумма углов треугольника равна 1800 эквивалентно V постулату (эта эквивалентность имеет место только при выполнении остальных аксиом геометрии Евклида).

В заключение приведем одно из доказательств V постулата, помещенных Лежандром в его книге "Начала геометрии". Для доказательства V постулата нужно лишь установить, что сумма углов треугольника не может быть меньше 180°: ведь тогда из теоремы 1 будет вытекать, что сумма углов треугольника в точности равна 180°, а потому, согласно теореме 3, будет справедлив V постулат. Доказательство проводится "от противного": пусть существует треугольник ABC, сумма углов которого меньше 180°, скажем, равна 180°- α (см. рис.).

Новости образования:

Необходимость модернизации российской системы образования как причина вступления России в Болонский процесс
Участие России в Болонском процессе можно рассматривать сквозь призму глобализации, которая предъявляет новые требования к образовательной системе. В связи с переходом к рыночной экономике и нарастанием процессов глобализации все более явным становится несоответствие сложившейся в России системы по ...

Роль воображения в развитии ребенка и его значение в формировании детской субкультуры
Развитая способность воображения, типичная для детей среднего дошкольного возраста, постепенно теряет свою активность по мере увеличения возраста. Вместе с тем теряется живость и свежесть впечатлений оригинальность ассоциаций, остроумия сравнений и многое другое. Таким образом, очевидно, что вообра ...

Знакомство с Иконой Владимирской Божией Матери ручной работы
Дорогие ребята, сегодня у нас в гостях рукодельница, прихожанка нашего храма, Лариса. Ивановна. Посмотрите, какую икону Владимирской Божией Матери она вышила бисером , используя прорись, с которой мы только что познакомились. Рассказ Ларисы Ивановны о том, как она работала над иконой. Вопросы детей ...