А.М.Лежандра

Построим на стороне BC вне треугольника ABC треугольник BCD, равный ABC, и проведем через точку D прямую, пересекающую стороны AB и AC угла BAC в точках M и N. В таком случае сумма углов треугольника BCD также равна 180°- α, а у треугольников BDM и CDN суммы углов не превосходят 180° (теорема 1).

Поэтому сумма 12 углов четырех треугольников: ABC, BCD, BDM и CDN не превосходит 720°-2α. Но суммы трех углов при точках B, C и D равны 180°; поэтому сумма оставшихся трех углов при вершинах A, M и N не превосходит (720°-2α) - 540° = 180°- 2α. Таким образом, мы построили треугольник AMN, сумма угол которого не превосходит 180°-2α. Далее таким же способом строим треугольник, сумма углов которого не превосходит 180°- 4α, затем треугольник, сумма углов которого не превосходит 180°- 8α, и т. д. Но таким путем мы, в конце концов, придем к треугольнику с отрицательной суммой углов, - а такого треугольника явно не может быть! Полученное противоречие и доказывает, что сумма углов любого треугольника равна 180°, а значит (теорема 3), V постулат имеет место.

Ошибочность этого доказательства состоит в том, что Лежандр, не оговаривая этого явно, пользуется следующим утверждением: через любую точку D, взятую внутри угла CAB, можно провести прямую, пересекающую обе стороны этого угла. Но это предложение эквивалентно самому V постулату: его так же не удается доказать, исходя из остальных аксиом, как и V постулат.

Неевклидова геометрия Лобачевского и абсолютная геометрия. Многие попытки доказательства V постулата проводились по схеме "доказательства от противного", т. е. предполагалось, что V постулат не имеет места, и делался ряд выводов, имеющих место в этом случае. Если бы при этом удалось прийти к противоречию, то V постулат был бы доказан. По этому пути шли упомянутые выше Хасан ибн ал-Хайсам и Омар Хайям, а также во многом следовавшие за Хайямом азербайджанский математик XIII века Насир Ад-Дин ат-Туси, итальянский математик XVII-XVIII веков Джироламо Саккери и немецкий математик XVIII века Иоганн Генрих Ламберт.

При этом было накоплено много фактов, которые имели бы место в геометрии, в которой верны все аксиомы евклидовой геометрии, кроме аксиомы о параллельности, а последняя неверна. Особенно много удивительных теорем, которые имели бы место в такой "геометрии", если бы только последняя была возможна, получил И.Г. Ламберт. Однако никто из перечисленных выше математиков не допускал и мысли о том, что, помимо геометрии Евклида, возможна другая непротиворечивая геометрия. В большинстве случаев все их построения завершались тем, что явно или неявно применялась аксиома, содержащая утверждение, равносильное V постулату, в результате чего и обнаруживалось противоречие. Однако сегодня мы ценим упомянутые исследования как заложившие начала неевклидовой геометрии Лобачевского. Под этим названием понимается та совокупность теорем, которая может быть выведена из системы аксиом, получаемой, если заменить аксиому параллельных евклидовой геометрии противоположным утверждением: в плоскости через точку A, не принадлежащую прямой a, можно провести более одной прямой, не пересекающейся с a (см. рис.).

Эта геометрическая система носит имя Николая Ивановича Лобачевского, профессора и ректора Казанского университета. Независимо от него, существование новой геометрии установили великий немецкий математик Карл Фридрих Гаусс и замечательный венгерский математик Янош Бойяи, сун Фаркаша Бойяи. Названные три автора первоначально шли тем путем, который мы указали выше. Стремясь доказать V постулат от противного, они глубоко развили аксиоматическую систему, получающуюся при отрицании истинности V постулата, но не обнаружили при этом никаких противоречий. Однако, в противоположность своим предшественникам, эти три великих математика сделали из полученных ими результатов вывод о существовании геометрической системы, отличной от евклидовой.

Новости образования:

Развитие эмоциональной сферы в младшем школьном возрасте
С момента, когда ребенок пошел в школу, его эмоциональное развитие в большей степени, чем раньше, зависит от посторонних людей и от того опыта, который он приобретает вне дома. Страхи ребенка отражают его восприятие окружающего мира, рамки которого теперь для него значительно расширяются. Большей ч ...

Основные принципы обучения математике
Принцип (от лат. слова principium - основа, первоначало) - руководящая идея, основное правило деятельности, поведения в определенной ситуации. Принципы обучения являются центральным понятием, основанием системы обучения. Они представляют из себя систему основных дидактических требований, выполнение ...

Понятие о педагогических ценностях
Педагогические ценности представляют собой нормы, регламентирующие педагогическую деятельность и выступающие как познавательно-действующая система, которая служит опосредующим и связующим звеном между сложившимся общественным мировоззрением в области образования и деятельностью педагога. Они, как и ...