Геометрия Лобачевского

В мемуаре «О началах геометрии» (1829) Лобачевский прежде всего воспроизвел свой доклад 1826г.

Он определяет основные понятия геометрии, не зависящие от V постулата, и заметив, что сумма углов прямолинейного треугольника не может быть , как это имеет место у сферических треугольников, Лобачевский заявляет: «Мы видели, что сумма углов прямолинейного треугольника не может быть . Остается предполагать эту сумму или . То и другое может быть принято без всякого противоречия впоследствии, от чего и происходят две Геометрии: одна, употребительная доныне по своей простоте, соглашается со всеми измерениями на самом деле; другая, воображаемая, более общая и потому затруднительная в своих вычислениях, допускает возможность зависимости линий от углов».

Лобачевский указывает, что в «воображаемой геометрии» сумма углов треугольника всегдаи две прямые могут не пересекаться в случае, когдаони образуют с секущей углы, в сумме меньшие . Параллельные прямые определяются как такие, которые не пересекаются, но могут быть получены предельным переходом из пересекающихся. Через каждую точку плоскости проходят две прямые, параллельные данной прямой, лежащей в этой плоскости; эти прямые делят пучок прямых, проходящих через данную точку, на четыре области, в двух из которых проходят прямые, пересекающие данную прямую, а в двух – прямые, которые не пересекают эту прямую и не могут быть получены предельным переходом из пересекающихся – такие прямые называются расходящимися; параллельные прямые разграничивают пресекающие прямые от расходящихся (на рис. условно изображены прямые и , проведенные через точку А параллельно прямой , прямые и , проведенные через точку А и пресекающие прямую , и прямые и , расходящиеся с прямой ). Угол между прямой, проведенной через точку А параллельно прямой , и перпендикуляром, опущенным из А на , Лобачевский называет «углом параллельности» и показывает, что функция , выражающая зависимость этого угла от длины а перпендикуляра, может быть (в современных обозначениях) записана в виде

=2arctg (1)

где q – некоторая постоянная. При а0 угол параллельности всегда острый, причем он стремится к при , постоянная же q может служить на плоскости Лобачевского абсолютной единицей длины, аналогичной абсолютной единицей длины, аналогичной единице угла в евклидовом пространстве. Лобачевский устанавливает также, что расходящиеся прямые обладают общим перпендикуляром и удаляются друг от друга по обе стороны от него, а две параллельные прямые приближаются друг к другу и расстояния точек одной из них от другой стремится к 0 при неограниченном удалении этих точек. Сумма углов треугольника в геометрии Лобачевского всегда меньше , и если - «угловой дефект» треугольника, то есть разность между и суммой его углов, то площадь треугольника S равна

(2)

где q – та же постоянная, что и в формуле (1).

Круг при стремлении его радиуса к бесконечности переходит в системе Лобачевского не в прямую, а в особого рода кривую «предельного круга» - в настоящее время такие кривые называют орициклами. Сфера при тех же обстоятельствах переходит не в плоскость, а в кривую поверхность, которую Лобачевский назвал «предельной сферой», а в настоящее время именуют орисферой. Лобачевский отмечает, что на орисфере имеет место евклидова геометрия, причем роль прямых на ней играют орициклы. Это позволяет Лобачевскому, опираясь на евклидову тригонометрию на орисфере, вывести тригонометрию на плоскости в его геометрической системе. Название «воображаемая геометрия» подчеркивает, что эта геометрия относится к евклидовой, «употребительной», по терминологии Лобачевского, как мнимые числа, «воображаемые», по его терминологии, к действительным.

Новости образования:

Организация самостоятельной деятельности
Очень важными моментами являются вопросы организации самостоятельной деятельности. Они тоже многоплановы: от элементарных – организация самостоятельных занятий при выполнении утренней гимнастики (гигиенические условия, меры безопасности, подготовка инвентаря и т.п.) – до таких, как организация усло ...

Обучение одаренных детей
При выявлении детей с незаурядными умственными возможностями встает проблема: чему и как их учить, как способствовать их оптимальному развитию. Программы для одаренных должны отличаться от обычных учебных программ. Хотелось бы, чтобы обучение таких детей отвечало их главным потребностям. Одаренные ...

Использование ценностно-ориентированных воспитывающих ситуаций для младших школьников на уроках и во внеурочное время с целью формирования адекватной самооценки
Ценностно-ориентированные воспитывающие ситуации для установления адекватной самооценки можно планировать и использовать на уроках литературного чтения, окружающего мира, изобразительного искусства, русского языка и математики, а также во внеурочной деятельности. Средствами таких ситуаций могут выс ...