Методика проведения занятия по теме «Двумерные поверхности»

Лента Мёбиуса.

Интересный пример двумерной поверхности с краем был описан в 1862—1865 годах в работах немецких математиков Мёбиуса и Листинга. Она получается следующим образом: прямоугольник один раз перекручивается, и затем ее концы склеиваются (рис.4). Полученная поверхность с краем называется лентой Мёбиуса:

Рисунок 4

Рисунок 5

Эта поверхность имеет лишь одну сторону. Посмотрите, пожалуйста, на иллюстрацию 1 (см. Приложение II). Например, перемещая кисточку по листу Мёбиуса

мы придем к тому же месту, с которого начинали закрашивание, но с обратной стороны. Перемещая кисточку дальше, мы закрасим весь лист Мёбиуса и убедимся, что у него нет «второй стороны».

Лента Мёбиуса обладает любопытными свойствами. Если попробовать разрезать ленту вдоль по линии, равноудалённой от краёв, вместо двух лент Мёбиуса получится одна длинная двухсторонняя (вдвое больше закрученная, чем лента Мёбиуса) лента, которую фокусники называют «афганская лента». Если теперь эту ленту разрезать вдоль посередине, получаются две ленты намотанные друг на друга. Если же разрезать ленту Мёбиуса, отступая от края приблизительно на треть её ширины, то получаются две ленты, одна — более тонкая лента Мёбиуса, другая — длинная лента с двумя полуоборотами (Афганская лента). Другие интересные комбинации лент могут быть получены из лент Мёбиуса с двумя или более полуоборотами в них. Например, если разрезать ленту с тремя полуоборотами, то получится лента, завитая в узел трилистника.

Лист Мёбиуса служил вдохновением для скульптур и для графического искусства. Эшер был одним из художников, кто особенно любил его и посвятил несколько своих литографий этому математическому объекту. Одна из известных — лист Мёбиуса, показывает муравьёв, ползающих по поверхности ленты Мёбиуса (иллюстрация 1).

Существуют технические применения ленты Мёбиуса. Полоса ленточного конвейера выполняется в виде ленты Мёбиуса, что позволяет ему работать дольше, потому что вся поверхность ленты изнашивается равномерно. Также в системах записи на непрерывную плёнку применяются ленты Мёбиуса (чтобы удвоить время записи). Во многих матричных принтерах красящая лента также имеет вид листа Мёбиуса для увеличения её ресурса.

Ручка.

Ручка является поверхность с краем.

Рисунок 5

Тор.

Тор является поверхность без краем.

Рисунок 6

Бутылка Клейна.

Бутылка Клейна — это определённая неориентируемая поверхность. Бутылка Клейна впервые была описана в 1882 г. немецким математиком Ф. Клейном. Она тесно связана с лентой Мёбиуса. Название, по-видимому, происходит от неправильного перевода немецкого слова Fläche (поверхность), которое в немецком языке близко по написанию к слову Flasche (бутылка).

Чтобы построить модель бутылки Клейна, необходимо взять бутылку с двумя отверстиями: в донышке и в стенке, вытянуть горлышко, изогнуть его вниз, и продев его через отверстие в стенке бутылки, присоединить к отверстию на дне бутылки.

Бутылка Клейна является поверхностью без края. В отличие от сферы можно пройти путь изнутри наружу не пересекая поверхность (т. е. на самом деле у этого объекта нет «внутри» и нет «снаружи»).

Бутылка Клейна может быть получена склеиванием двух лент Мёбиуса по краю.

Рисунок 7

Проективная плоскость.

Проективная плоскость является поверхность без краем.

Рисунок 8

Широкий класс двумерных поверхностей можно получить, заклеивая отверстия на сфере листами Мёбиуса или ручками.

Решение задач.

Уровень А.

Задача 1. Укажите способы вложения окружности в тор.

Решение: Окружность в тор можно вложить тремя способами: либо так, что окружность уместится в маленьком круге (как на сфере), либо так, что она станет меридианом тора или её параллелью:

Новости образования:

Эмпирические методы
Анкетирование относится к опросным методам, которые проникли в педагогику из социологии и называются еще социологическими. Анкетирование – метод массового сбора материала с помощью специально разработанных опросников, называемых анкетами [22]. Анкетирование – также один из наиболее распространенных ...

Организационно-педагогические аспекты дифференцированного обучения
Проанализируем основные вехи российского образования, с XVIII в. по настоящее время. Для того чтобы понять и осознать то, что происходит с нашим образованием на современном этапе развития общества. Система светского образования в России начала складываться при Петре I в XVIII веке. Он наметил основ ...

Задача и умение её решать
В начальном курсе обучения математике задачи играют большую роль. Что составляет содержание понятия «задача»? В Толковом Словаре русского языка Ожегова С.И. дана такая трактовка этого понятия: «задача - это то, что требует разрешения, исполнения». [17, с. 203] Из «Психологического словаря» мы узнаё ...