Задача 2. Докажите, что если из проективной плоскости вырезать круг, то в результате получится фигура, гомеоморфная листу Мёбиуса.
Решение: На рисунке показано, как можно представить проективную плоскость с вырезанным диском. Сделаем разрезы b и c. Затем склеим стрелки а. В результате получим лист Мёбиуса [26].
Задача 3. Докажите, что проективная плоскость гомеоморфна сфере с одним листом Мёбиуса.
Решение: Изобразим проективную плоскость, затем преобразуем её. Сначала вырежем круг, затем распрямим стрелки для получения развёртки листа Мёбиуса. В результате получим сферу с отверстием, в которое можно «поместить» лист Мёбиуса [32]:
Задача 4. Докажите, что бутылку Клейна можно разрезать на 2 листа Мёбиуса.
Решение: Два способа склейки бутылки Клейна из квадрата изображены на рис.9. На рис. 10 пунктиром изображены требуемые разрезы для обоих способов склейки [25].
Рисунок 9
Рисунок 10
Задача 5. Докажите, что если из проективной плоскости вырезать диск, то получится лист Мёбиуса.
Задача 6. Докажите, что кольцо гомеоморфно цилиндру.
Задача 7. Проверьте, что цилиндр, тор, сфера – ориентируемые поверхности, а проективная плоскость неориентируема.
Задача 8. Докажите, что фигура, являющаяся объединением боковой поверхности цилиндра и его нижнего основания («стакан»), гомеоморфна кругу.
Задача 9. Докажите, что фигуры, изображенные на рисунке (лента, гомеоморфная боковой поверхности цилиндра, и дважды перекрученная лента) гомеоморфны между собой.
Уровень В.
Задача 10. Докажите, что сфера, к которой приклеены 3 листа Мёбиуса, гомеоморфна сфере, к которой приклеена одна ручка и один лист Мёбиуса.
Решение: Сфера, к которой приклеены два листа Мёбиуса, гомеоморфна бутылке Клейна. Поэтому сфера, к которой приклеены три листа Мёбиуса, гомеоморфна бутылке Клейна к которой приклеен один лист Мёбиуса. Такая фигура изображена на рис.11 (а). Сделаем разрез с, а затем склеим стрелки b(рис. 11 (б)). В результате получим сферу к которой приклеены ручка а и лист Мёбиуса с [25].
(а) (б)
Рисунок 11
Задача 11. Доказать, что сфера, к которой приклеены два листа Мёбиуса, гомеоморфна бутылке Клейна.
Решение:
Очевидно, что склейка двух листов Мёбиуса по их общему краю эквивалентна вклеиванию этих листов в сферу с двумя дырками [32].
Задача 12. Докажите, что замкнутая ориентируемая двумерная поверхность не может быть гомеоморфна замкнутой неориентируемой двумерной поверхности.
Задача 13. К сфере с двумя дырами приклейте цилиндр по его краям. Докажите, что полученная поверхность гомеоморфна сфере с приклеенной ручкой, т.е. тору.
Задача 14. Покажите, что кольцо и лист Мёбиуса можно получить из круга приклеивание к его границе прямоугольника по двум сторонам.
Задача 15. В шаре высверлены три сквозных цилиндрических отверстия, не соединяющихся между собой. Докажите, что поверхность получившегося тела гомеоморфна сфере с тремя ручками.
Задача 16. В шаре высверлены три сквозных цилиндрических отверстия, оси которых проходят через центр шара. Докажите, что поверхность получившегося тела гомеоморфна сфере с пятью ручками.
Задача 17. Если попарно склеить противоположные стороны квадрата с учетом указанных на рисунке а направлений, то получится тор (рисунок б, в, г). Какая поверхность получится, если склеивание произвести с учетом направлений на рисунке (сторона с остается не склеенной)?
Новости образования:
Модель двигательной активности в детском саду
В наши дни каждый человек знает, что физкультура и спорт полезны для здоровья. Что же касается движений для физического и психического развития ребёнка, то об этом говорится почти во всех книгах о воспитании детей. И действительно невозможно представить здорового ребёнка неподвижным, хотя, к сожале ...
Программные
средства, необходимые для разработки web-сайта по проверке уровня знаний
математики учениками малдших классов
Язык разметки гипертекстовых страниц (HTML – HypertextMarkupLanguage) представляет собой язык, разработанный специально для создания Web-документов. Он определяет синтаксис и размещение специальных инструкций (тегов), которые не выводятся на экран, но указывают браузеру, как отображать содержимое д ...
Исследование эффективности построения
учебно-тренировочного процесса по баскетболу у детей среднего школьного
возраста
Методы исследования: Основными методами исследования являются: 1. Анализ и изучение литературных данных, анализ документальных материалов. 2. Контрольные испытания. 3. Метод педагогического наблюдения. 4. Метод математической обработки. 5. Сравнительный анализ. Анализ литературных источников позвол ...