Методика проведения занятия по теме «Двумерные поверхности»

Задача 2. Докажите, что если из проективной плоскости вырезать круг, то в результате получится фигура, гомеоморфная листу Мёбиуса.

Решение: На рисунке показано, как можно представить проективную плоскость с вырезанным диском. Сделаем разрезы b и c. Затем склеим стрелки а. В результате получим лист Мёбиуса [26].

Задача 3. Докажите, что проективная плоскость гомеоморфна сфере с одним листом Мёбиуса.

Решение: Изобразим проективную плоскость, затем преобразуем её. Сначала вырежем круг, затем распрямим стрелки для получения развёртки листа Мёбиуса. В результате получим сферу с отверстием, в которое можно «поместить» лист Мёбиуса [32]:

Задача 4. Докажите, что бутылку Клейна можно разрезать на 2 листа Мёбиуса.

Решение: Два способа склейки бутылки Клейна из квадрата изображены на рис.9. На рис. 10 пунктиром изображены требуемые разрезы для обоих способов склейки [25].

Рисунок 9

Рисунок 10

Задача 5. Докажите, что если из проективной плоскости вырезать диск, то получится лист Мёбиуса.

Задача 6. Докажите, что кольцо гомеоморфно цилиндру.

Задача 7. Проверьте, что цилиндр, тор, сфера – ориентируемые поверхности, а проективная плоскость неориентируема.

Задача 8. Докажите, что фигура, являющаяся объединением боковой поверхности цилиндра и его нижнего основания («стакан»), гомеоморфна кругу.

Задача 9. Докажите, что фигуры, изображенные на рисунке (лента, гомеоморфная боковой поверхности цилиндра, и дважды перекрученная лента) гомеоморфны между собой.

Уровень В.

Задача 10. Докажите, что сфера, к которой приклеены 3 листа Мёбиуса, гомеоморфна сфере, к которой приклеена одна ручка и один лист Мёбиуса.

Решение: Сфера, к которой приклеены два листа Мёбиуса, гомеоморфна бутылке Клейна. Поэтому сфера, к которой приклеены три листа Мёбиуса, гомеоморфна бутылке Клейна к которой приклеен один лист Мёбиуса. Такая фигура изображена на рис.11 (а). Сделаем разрез с, а затем склеим стрелки b(рис. 11 (б)). В результате получим сферу к которой приклеены ручка а и лист Мёбиуса с [25].

(а) (б)

Рисунок 11

Задача 11. Доказать, что сфера, к которой приклеены два листа Мёбиуса, гомеоморфна бутылке Клейна.

Решение:

Очевидно, что склейка двух листов Мёбиуса по их общему краю эквивалентна вклеиванию этих листов в сферу с двумя дырками [32].

Задача 12. Докажите, что замкнутая ориентируемая двумерная поверхность не может быть гомеоморфна замкнутой неориентируемой двумерной поверхности.

Задача 13. К сфере с двумя дырами приклейте цилиндр по его краям. Докажите, что полученная поверхность гомеоморфна сфере с приклеенной ручкой, т.е. тору.

Задача 14. Покажите, что кольцо и лист Мёбиуса можно получить из круга приклеивание к его границе прямоугольника по двум сторонам.

Задача 15. В шаре высверлены три сквозных цилиндрических отверстия, не соединяющихся между собой. Докажите, что поверхность получившегося тела гомеоморфна сфере с тремя ручками.

Задача 16. В шаре высверлены три сквозных цилиндрических отверстия, оси которых проходят через центр шара. Докажите, что поверхность получившегося тела гомеоморфна сфере с пятью ручками.

Задача 17. Если попарно склеить противоположные стороны квадрата с учетом указанных на рисунке а направлений, то получится тор (рисунок б, в, г). Какая поверхность получится, если склеивание произвести с учетом направлений на рисунке (сторона с остается не склеенной)?

Новости образования:

Обзор методик логопедической работы направленных на развитие импрессивной речи
Жуковой Н.С., Мастюковой Е.М., Филичевой Т.Б., Ефименковой Л.Н. было разработано с учетом возрастной психологии и деятельности ребенка содержание коррекционной работы с детьми дошкольного возраста. Это содержание включает в себя формирование знаний и представлений об окружающем, развитие познавател ...

Технология модульного обучения
Данная технология содержит в своей основе идею воспроизводимого обучающего цикла. В его содержание входят: Общая постановка цели обучения; Переход от общей формулировки цели к ее конкретизации; Предварительна (диагностическая) оценка уровня обученности учащихся; Совокупность учебных процедур (на эт ...

Развитие мышления при обучении математике
Рассматривая вопрос о средствах и условиях развития мышления, определим эти понятия. Под условиями, согласно теории деятельности, понимают все то, что влияет на характер и эффективность деятельности, а под средством - такие условия, которыми субъект деятельности может произвольно и непроизвольно оп ...