Методика преподавания темы «Параллельные прямые»

В современных элементарных курсах геометрии V постулат Евклида заменяется равносильной ему аксиомой о параллельных, данной еще Проклом (412-485), одним из комментаторов Евклида.

Следует остановиться на одном из признаков непараллельности прямых, который используется при доказательстве теоремы: через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести окружность и притом только одну.

Теорема (признак не параллельности). Перпендикуляры к двум пересекающимся прямым пересекаются.

Действительно, если допустить, что MN и KL не пресекаются, то MNKL. Но в таком случае прямая АВ, перпендикулярная к MN, будет перпендикулярна и к KL, так как MNKL. Итак, и CD и АВ перпендикулярны к KL, но CD и АВ пересекаются в некоторой точке Р, следовательно, из точки Р проведены к KL два перпендикуляра, А В и CD, что невозможно. А потому допущение, что MNKL неверно. Если же MN не параллельна KL, то MN и KL пересекаются.

Последняя теорема представляет для учащихся значительные трудности. Поэтому целесообразно рассмотреть ее позднее (на следующем году обучения геометрии) для обоснования вывода теоремы о проведении окружности через три точки, не лежащие на одной прямой.

Теорему о свойстве углов с соответственно параллельными сторонами следует рассмотреть для случаев, когда данные углы или оба острые, или оба тупые, или один из них острый, а другой тупой.

Теорема находит широкое применение при изучении свойств различных фигур и, в частности, четырехугольника.

Встречающееся иногда при формулировке теорем указание на то, что стороны углов с соответственно параллельными сторонами могут иметь или одинаковое или противоположное направление, считаем ненужным. Если пользоваться термином «направление», то следовало бы разъяснить, что должно понимать под этим словом. Достаточно обратить внимание учащихся на то, что углы с соответственно параллельными сторонами равны, если они оба острые или оба тупые, если же один из углов тупой, а другой острый, то они в сумме составляют 2d.

Теорема об углах с соответственно перпендикулярными сторонами может быть дана непосредственно после теоремы о свойстве углов с соответственно параллельными сторонами. Учащимся приводятся примеры использования свойств углов с соответственно параллельными и перпендикулярными сторонами в приборах и деталях машин.

При выводе теоремы о сумме углов треугольника можно использовать наглядные пособия. Вырезают треугольник ABC, пронумеровываются его углы, затем обрывают их и прикладывают друг к другу. Получается l+2+3=2d. Проводят из вершины С треугольника ABC высоту CD и перегибают треугольник так, чтобы высота делилась пополам, т.е. вершина С упала в точку D - основание высоты. Линия перегиба MN есть средняя линия треугольника ABC. Затем перегибают равнобедренные треугольники AMD и DNB по их высотам, при этом вершины А и В совпадут с точкой D и l+2+3=2d.

Следует помнить, что использованием наглядных пособий в систематическом курсе геометрии отнюдь не ставится задача подменить логическое доказательство какого-либо предложения опытной проверкой его. Наглядные пособия должны лишь содействовать пониманию учащимися того или иного геометрического факта, свойств той или иной геометрической фигуры и взаимно расположения отдельных ее элементов. При определении величины угла треугольника следует напомнить учащимся о рассмотренной ранее теореме о внешнем угле треугольника и указать, что теорема о сумме углов треугольника позволяет и построением и вычислением установить числовую зависимость между углами внешними и внутренними, не смежными с ними.

Новости образования:

Сравнительный анализ учебников под редакцией Н.Я. Виленкина и Л.Г. Петерсон
Если обратиться к содержанию программы Л.Г. Петерсон для выпускного класса начальной школы, то можно увидеть, что в ней преобладает углубленное и расширенное содержание по сравнению с базовым: базовое содержание – 44%, углубленное и расширенное – 56%. Программа предусматривает изучение таких тем, к ...

Экология и безопасность жизнедеятельности
В процессе всей жизни человека на него оказывает своё влияние целый ряд факторов, которые в свою очередь некоторым образом отражаются и на его поведении, а так же психическом и физическом состоянии. Так очень большое влияние оказывает экологический фактор, в том числе общее состояние окружающей сре ...

Методы проблемного обучения
Суть проблемного изложения заключается в том, что учитель создает проблемную ситуацию, формулирует проблемное задание, сам его решает, показывая детям этапы, их последовательность, образец рассуждения на каждом из них Общая структура метода проблемного изложения включает такие основные действия вза ...