Теоретические основы введения целых неотрицательных чисел

Взаимно однозначное отображение множества А на отрезок Nа можно понимать как нумерацию элементов множества А. Этот процесс нумерации называют счетом. Существует много нумерации одного и того же множества. Так, элементы множества А = р, к, с можно занумеровать следующим образом: р = 1, к = 2, с = 3, а можно иначе. А=! р,к,с! можно занумеровать следующим образом: р= 1, к - 2, с = Ь, а можно иначе. Имеются и другие возможности нумерации элементов данного множества А.

При пересчете элементы конечного множества не только расставляются в определенном порядке, но и устанавливается также, сколько элементов содержит множество. В первом случае натуральное число представляет собой порядковый номер некоторого элемента и называется в силу этого числом порядковым. Во втором случае мы имеем дело с числом количественным. Эти две роли натуральных чисел нашли отображение на русском языке: порядковые натуральные числа выражаются числительными: первый, второй, третий и т.д., количественные - числительными - один, два, три и т.л Учащиеся начальных классов ознакомлены с требованиями к счету: Счет может быть прямым и обратным, при счете нельзя нарушать порядок следования чисел друг за другом.

Итак, с теоретико-множественных позиции натуральное число рассматривается как число элементов конечного множества.

3. Натуральное число как результат измерения величин

Натуральное число (числа) используют для пересчета элементов конечных множеств, но и для измерения величин: длин отрезков, площадей фигур, масс тел, стоимости товара и др., т.е. для сравнения их с некоторой единицей (метром, килограммом, и др.) и выражения результат сравнения числом.

Если измеряемую величину можно разделить на несколько частей, «равных» единицы величины, то результат измерения выражается натуральным числом. Чаще, однако, единица величины не укладывается целой число раз в измеряемой величине. Поэтому для выражения результата измерения приходится расширять запас чисел, вводя числа, отличаемые от натуральных. Следовательно, измерение величин служит основой для расширения понятия числа.

Уточним представления о натуральном числе как результате измерения величин или, как говорят, мере величины. Рассмотрим на примере величины -длины отрезка.

Определение: Считают, что отрезок а разбит на отрезки (состоит из отрезков): а1, а1,… ап, если он не является их объединением и никакие два из отрезков не имеют общей внутренней точки (не налегают друг на друга), хотя и могут иметь общие концы. В этом случае отрезок а называют суммой отрезков а1, а2… ап и пишут: а = а1 + а2 +…+ап.

Так как можно утверждать, что отрезок а, изображенный на рисунке 1, разбит на отрезки: а1, а2, а3, а4 и а = а1 + а2 + а3 + а4.

Выберем из множества отрезков некоторый отрезок е и назовем его единичным отрезком или единицей длины.

Определение: Если отрезок а можно разбить на п отрезков, каждый из которых равен единичному отрезку е, то число п назовем мерой или значением длины отрезка а при единице длины е и будем писать: п = Ме (а) или а = пе. Говорят также, что в этом случае отрезок а кратен отрезку е.

Например, мерой отрезка а, изображенного на рисунке 2, при единице длины е является число 6: Ме (а) = 6. В этом случае можно сказать, что число 6 является значением длины отрезка а при единице е и записать: а = 6е.

Необходимо иметь в виду, что при переходе к другой единице длины отрезка изменяется, хотя сам отрезок остается неизменным. Так, если в качестве единицы длины выбрать отрезок е1 (рисунок 1), то мера отрезка а можно выразить числом 6: Ме = 6. Или а = 6е.

Новости образования:

Реформа профильного обучения
Реализация профильного обучения возможна только при условии относительного сокращения учебного материала непрофильных предметов, изучаемых с целью завершения базовой общеобразовательной подготовки учащихся. Эта система профильного обучения должна включать в себя следующие типы учебных предметов: ба ...

Роль образования в формировании толерантности
Актуализируется проблема условий, средств, механизмов формирования толерантного сознания. Одним из главных социальных институтов, способствующих формированию толерантной личности в современном обществе, является образование. Толерантность как особенность сознания или личностная черта не присуща чел ...

Различные виды упражнений, как ведущие средства обучения на средней ступени
Упражнения остаются главным средством обучения на любом этапе овладения иностранным языком. Так что же такое упражнение? Упражнение должно отвечать следующим требованиям: в упражнении всегда есть цель. Безусловно, какое-то упражнение может давать и побочный эффект, то есть попутно работать и на те ...