Теоретические основы введения целых неотрицательных чисел

Аксиоматический подход к теории натуральных чисел не рассматривается ни в начальной школе, ни в средней. Однако те свойства «непосредственно следовать за», которые нашли отражение в аксиомах 1-4, являются предметом изучения в начальных классах и используются при решении задач. Уже в первом классе при рассмотрении чисел первого десятка выясняется, как может быть получено каждое число. При помощи терминов «следует» и «предшествует», используется этот прием в 1-м классе. Каждое новое число с самого начала выступает как продолжение изученного отрезка натурального ряда чисел. При таком подходе создаются условия для того, чтобы дети подметили некоторые общие свойства чисел натурального ряда: не только данное, рассматриваемое на этом уроке число, но и вообще любое натуральное число может сыть получено прибавлением 1 к тому числу, которое встречается пои счете перед ним, или вычитанием 1 из числа., которое идет при счете сразу после него; любое число на 1 больше, чем ему предшествующее . Таким образом, уже в начальной школе учащиеся убеждаются в том, что за. каждым числом идет следующее, и притом только одно, что натуральный ряд чисел бесконечен.

2. Теоретико-множественный подход к определению натурального числа

Количественное натуральное число может быть получено как результат счета элементов конечного множества, т.е. количественное число явилось вторичным по отношению к порядковому числу. Но исторически количественное число появилось раньше, чем порядковое: на определенном этапе своего развития человек воспринимал численность множества предметов без их счета, поэтому возможен подход к количественному натуральному числу, который не связан со счетом.

Пусть множества А и В таковы, что им соответствует одно и то же число а. Это значит, что они взаимно однозначно отображаются на один и тот же отрезок натурального ряда, два множества, которые можно взаимно однозначно отобразить друг на друга, равномощны. Следовательно, для конечных множеств утверждение «Множества А и В равномощны» равносильно утверждению «множества А и В содержат поровну элементов» (т.е. им соответствует одно и то же натуральное число).

Так как любому конечному множеству соответствует лишь одно натуральное число, то вся совокупность конечных множеств распадается на классы равномощных множеств. Например, в один из классов попадает множество сторон треугольника, множество его вершин, множество букв в слове «дом, в другой - общее свойство класса множеств, равномощных множеству вершин квадрата.

Число «нуль» также имеет теоретико-множественное истолкование - оно ставится в соответствие «пустому» множеству: 0 = к (0), А = (0).

Каждый класс разбиения некоторого множества однозначно определяется заданием любого принадлежащего ему элемента - представителя этого класса. Значит, у каждого класса равномощных множеств однозначно задается выбором какого-нибудь представителя. В качестве такого представителя выбирают соответствующий отрезок натурального ряда чисел. Например, класс конечных множеств, содержащих множество вершин квадрата, задается отрезком натурального ряда А4 = (1,2,3,4)

В связи с тем, что при определении числа, соответствующего множеству А, приходится прибегать к счету, а для этого нужен некоторый отрезок натурального ряда, то изучение математики в начальных классах начинается с усвоения отрезка натурального ряда. Параллельно раскрывается М смысл каждого из чисел этого отрезка, причем количественное натуральное число по существу рассматриваются как общее свойство класса конечных равномощных множеств.

Новости образования:

Экспериментальное исследование: процедура, результаты и их обсуждение
Экспериментальное обоснование концептуальной модели психического развития детей дошкольного возраста осуществлялось на базе ГОУ Детский сад комбинированного вида № 1602 и ГОУ детский сад № 761 Восточного окружного управления Департамента образования г. Москвы. Основными методами исследования были: ...

Влияние музыки на всестороннее развитие личности ребенка
История учит нас тому, что искусство является неотъемлемой частью человеческой деятельности, что личность человека может полностью раскрыться и сформироваться лишь при помощи и участия искусства. Воспитание современного человека на ряду с наукой искусство занимает важное место. Оно помогает формиро ...

Формы организации учебной работы в начальных классах
Форма — это внутренняя структура, строение, связь. Когда мы говорим о формах обучения, то имеем в виду то или иное строение учебных занятии, организацию учебной деятельности учители и учащихся. Развитие общества требовало все большего числа грамотных людей. Как выражение этой потребности и возникае ...