Теоретические основы введения целых неотрицательных чисел

Другое обоснование понятия натурального числа базируется на анализе отношения порядка следования, которое, как оказывается, может быть аксиоматизировано. Построенная на этом принципе системе аксиом была сформулирована Дж.Пеано. Итак, понятие числа является одним из основных в математике. Число служит оружием, при помощи которого математика и другое науки изучают объективные закономерности реального мира.

Современное состояние понятия «число» сложилось в результате сложного и длительного исторического пути развития, в процессе решения постоянно усложняющихся практических и теоретических задач.

В теории построенной Дж. Пеано, б качестве основного понятия взято отношение «непосредственно следовать за». Известными также считаются понятия множеств, элемента множеств и другие теоретико-множественные понятия, а также правила логики. Элемент, непосредственно следующий за элементом а, обозначают а1. Суть отношения «непосредственно следовать за» раскрывается в четырех аксиомах.

Аксиома 1. В множестве А существует элемент, непосредственно не следующий ни за каким элементом этого множества. Называют его единицей.

Аксиома 2. Для каждого элемента а из множества В существует единственный элемент a1, непосредственно следующий за а.

Аксиома 3. Для каждого элемента а из множества В существует не более одного элемента, за которым, непосредственно следует а.

Аксиома 4. Пусть множество и есть подмножество множества В и известно, что:

а) единица содержится в М;

б) из того, что а содержится в М, следует, что и al содержится в М;

тогда множество М совпадает с множеством А?

Опираясь на введенное отношение «непосредственно следовать за» и аксиомы 1-4, можно дать следующее определение натурального числа.

Определение 1. Множество А, для элементов которого установлено отношение «непосредственно следовать за», удовлетворяющее аксиомам 1-4, называется множеством натуральных чисел, а его элементы натуральными числами.

Приведенное определение называют аксиоматическим. В таких определениях все понятия выступают как первичные, а связи между ними описываются системой аксиом. Поэтому систему аксиом можно рассматривать как неявные, косвенные определения исходных понятий.

В данном определении натурального числа ничего не говорится о природе элементов множества А. Следовательно, она может быть какой угодно. Выбирая в качестве множества А .некоторое конкретное множество, на котором задано конкретное отношение «непосредственно следовать за», удовлетворяющее аксиомам 1-4, получают различные интерпретации (модели) данной системы аксиом. Одной из них является ряд чисел 1,2,3,…, возникающий в процессе исторического развития общества. Элемент, непосредственно не следующий ни за каким элементом этого множества, здесь обозначается символом 1. Возможны и другие модели данной системы аксиом. Рассмотрим, например, последовательность множеств, в которой множество (00) есть начальный элемент, а каждое последующее множество получается и с предыдущего, приписыванием еще одного кружка.

а) (00), (000), (0000)…

Тогда A есть множество, состоящее из множеств описанного вида. Нетрудно убедиться в том, что оно является моделью системы аксиом 1-4. Действительно, в множестве А существует элемент (00), непосредственно не следующий ни за каким элементом данной совокупности множеств; если считать обведенные кружки за один элемент, то для каждого множества В рассматриваемой совокупности существует единственное множество, которое получается из В добавление одного кружка; для каждого множества В существует не более одного множества, из которого образуется множество В добавлением не более одного множества, из которого образуется множестве В добавлением одного кружка; если М А известно, что множество В содержится в М, и из того, что В содержится в М, что и. множество, в котором на один кружок больше, чем в множестве В, также содержится в М, то М = А.

Новости образования:

Разработка методического обеспечения для работы со структурным типом данных массив
Чтобы любую новую задачу решить с применением компьютера, необходимо предварительно создать соответствующую компьютерную программу. Технологический процесс разработки программы решения задачи включает следующие этапы [5]:1) построение информационной модели задачи;2) разработка алгоритма решения зад ...

Анализ полученных результатов и их интерпретация
После проведения серии занятий с целью повышения уровня профессиональной готовности старшеклассников мы вновь провели исследование уровня профессиональной готовности старшеклассников. Результаты исследования по шкале «Автономность» на контрольном этапе мы поместили в таблицу 6. Таблица 6 Распределе ...

Проблемная ситуация и учебная проблема: способы и условия создания
Проблемная ситуация и учебная проблема являются основными понятиями проблемного обучения, которое рассматривается не как механическое сложение деятельности преподавания и учения, а как диалектическое взаимодействие этих двух деятельностей. Проблемное преподавание определяется как деятельность учите ...