Характеристика задач на построение

Алгебраический метод.

1. Одним из важных методов, применяемых в школь­ном курсе геометрии, является алгебраический метод ре­шения задач на построение. Уже в VI-VII классах уча­щиеся неоднократно применяли алгебру при решении задач вычислительного характера и задач на доказатель­ство с целью упрощения решения. Алгебра дает очень удобный и хороший способ решения геометрических вопросов аналитическим путем.

В VI классе целесообразно рассказать, что некоторые сведения по алгебре были известны еще в глубокой древ­ности, но вопросы алгебры не отделя­лись от вопросов арифметики и геоме­трии. Позже греческие ученые, такие, как Пифагор, Евклид, которые занима­лись преимущественно геометрией, по­лучили значительные результаты и в алгебре. Но многие алгебраические то­ждества доказывались ими геометри­чески. На доске в качестве примера ил­люстрируем доказательство тождества: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (рис. 56).

Рис. 56

Площадь квадрата, построенного на сумме отрезков а и b, равна сумме площадей двух квадратов со сторо­нами а и b и площадей двух прямоугольников со сторо­нами а и b. В IX в. н. э. узбекский

ученый Мухаммед-бен-Муса ал-Хорезми написал книгу «Хисаб ал-джебр вал-мукабала», появление которой явилось как бы мо­ментом оформления науки алгебры. В дальнейшем ал­гебра получила свое самостоятельное развитие и начала оказывать большую помощь при решении различных за­дач других математических дисциплин, в том числе и ге­ометрии.

2. Алгебраический метод решения задач на построе­ние рассматривается как дальнейшее расширение приме­нения алгебры к геометрии. Как известно, он состоит в следующем. Предположив задачу решенной: 1) Устанав­ливаем, какой или какие отрезки (в редких случаях углы или дуги) нужно определить, чтобы решить задачу, и обозначаем длины этих отрезков через х, y, z, ., а длины данных отрезков – через а, b, с, …, то есть вводим обозначения. 2) Из условия задачи, пользуясь из­вестными геометрическими соотношениями между иско­мыми и данными отрезками, составляем уравнение или систему уравнений. 3) Решаем это уравне­ние или систему уравнений. 4) Исследуем получен­ные формулы для неизвестных отрезков по условию задачи. 5) Строим с помощью инструментов искомые отрезки, выраженные полученными формулами через данные отрезки. После того как неизвестные построены, выполняем построения, которые окончили бы решение, проводим доказательство и исследование.

Первые четыре этапа известны учащимся, так как при решении геометрических задач на вычисление и алгеб­раических на составление уравнений всегда выделялись такие же этапы. Это говорит о том, что задачи на по­строение, решаемые таким методом, можно рассматри­вать как обобщение задач вычислительного характера, а с другой стороны, при применении алгебраического ме­тода всякая задача на построение заменяется вначале задачей на вычисление, так что каждая задача на постро­ение, решаемая этим методом, является, по существу, и задачей на вычисление.

4. Целесообразность рассмотрения этого метода в средней школе не определяется только тем, что учащиеся ознакомятся с еще одним видом задач, для ре­шения которых применяется алгебра. Алгебраический метод решения отдельных, даже сложных задач на по­строение более доступен учащимся, ибо достаточно по­лучить соответствующую формулу для определения иско­мой величины, чтобы стало ясным все решение задачи.

Алгебраический метод позволяет легко установить условия возможности решения задачи, а также наличие определенного числа решений при тех или иных значе­ниях и положениях данных.

5. Однако в средней школе не следует чрезмер­но увлекаться этим методом за счет других важных раз­делов. Нужно решать доступные и интересные для учащихся задачи.

Новости образования:

Педагогические рекомендации по проблеме развития творческих способностей детей среднего дошкольного возраста
Дошкольный возраст имеет богатейшие возможности для развития творческих способностей. К сожалению, эти возможности с течением времени необратимо утрачиваются [16], поэтому необходимо, как можно эффективнее использовать их в дошкольном детстве. Успешное развитие творческих способностей возможно лишь ...

Технология изготовления
Порядок выполнения работ Содержание работ Необходимое оборудование Необходимые инструменты Изготовление заготовки для ножки. Необходимо взять дубовый брус, диаметром примерно 155 мм. Далее нужно остругать брус, выдерживая необходимые размеры и углы. Электрорубанок, электрофуганок, циркулярная пила. ...

Понятие о технологии. Основные характеристики педагогических технологий
В современной психолого-педагогической литературе часто встречается понятие «технология», пришедшее вместе с достижениями научно- технического прогресса и внедрением в образование «новых компьютерных технологий». В науке появилось специальное направление – технологическое. Это направление зародилос ...